تمرین ۱ صفحه ۲۴ ریاضی و آمار یازدهم انسانی
۱. کدام یک از رابطه‌های زیر که با نمودار پیکانی نمایش داده شده‌اند، تابع نیست؟ چرا؟
الف) نمودار پیکانی که در آن ۱ به $\text{a}$ و ۲ به $\text{a}$ وصل شده است.
ب) نمودار پیکانی که در آن ۱ به $\text{a}$ و ۱ به $\text{b}$ وصل شده است و ۲ به $\text{b}$ وصل شده است.
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه ۲۴ ریاضی و آمار یازدهم انسانی
بسیار عالی! برای تشخیص اینکه یک رابطه تابع است یا خیر، در نمایش پیکانی باید این قانون طلایی را به یاد داشته باشید: **هر عضو از مجموعهٔ اول (دامنه) باید دقیقاً یک پیکان خارج شده داشته باشد.**
### الف) بررسی رابطه الف
* عضو **۱** از مجموعه اول (دامنه)، **یک** پیکان به $\text{a}$ دارد.
* عضو **۲** از مجموعه اول (دامنه)، **یک** پیکان به $\text{a}$ دارد.
**نتیجه:** هر عضو دامنه فقط یک پیکان دارد (هرچند که هر دو به یک عضو در برد رسیده‌اند). پس **رابطه الف، تابع است.**
### ب) بررسی رابطه ب
* عضو **۱** از مجموعه اول (دامنه)، **دو** پیکان دارد: یکی به $\text{a}$ و یکی به $\text{b}$.
* عضو **۲** از مجموعه اول (دامنه)، **یک** پیکان به $\text{b}$ دارد.
**نتیجه:** چون از عضو **۱**، **دو پیکان** خارج شده است، این رابطه تعریف تابع را نقض می‌کند. پس **رابطه ب، تابع نیست.**
**چرا تابع نیست؟**
* **دلیل:** چون عضو $\mathbf{1}$ از مجموعهٔ دامنه (مجموعهٔ اول) به دو عضو مختلف از مجموعهٔ دوم ($\\text{a}$ و $\\text{b}$) مرتبط شده است. این به این معنی است که $\text{f}(1)$ دو مقدار مختلف $\text{a}$ و $\text{b}$ دارد، در حالی که در تابع، هر ورودی باید **خروجی یکتا** داشته باشد.
تمرین ۲ صفحه ۲۴ ریاضی و آمار یازدهم انسانی
۲. کامل کنید:
**قسمت اول:**
$$\begin{cases} \text{f}: \text{A} \to \text{B} \\ \text{f}(\text{x}) = \text{x}^2 - 1 \end{cases} \quad \text{D}_{\text{f}} = \text{A} = \left\{ 2, -1, -2 \right\} \quad \text{R}_{\text{f}} = \left\{ \dots, \dots \right\}$$
**قسمت دوم:**
$$\begin{cases} \text{f}: \text{A} \to \text{B} \\ \text{f}(\text{x}) = \frac{1}{\text{x}} \end{cases} \quad \text{D}_{\text{f}} = \left\{ \dots, \dots, \dots \right\} \quad \text{R}_{\text{f}} = \left\{ 1, \frac{1}{2}, 5 \right\}$$
**قسمت سوم:**
$$\begin{cases} \text{f}: \text{A} \to \text{B} \\ \text{f}(\text{x}) = (\text{x} - 1)^2 \end{cases} \quad \text{D}_{\text{f}} = \left\{ \dots, \dots \right\} \quad \text{R}_{\text{f}} = \left\{ \dots, \dots \right\}$$
(بر اساس نمودار مختصاتی داده شده)
**قسمت چهارم:**
$$\text{f} \text{ تابعی خطی از } \text{A} \text{ به } \text{B} \quad \text{D}_{\text{f}} = \left\{ -\frac{1}{2}, 0, 2 \right\} \quad \text{R}_{\text{f}} = \left\{ -\frac{3}{2}, 0, 6 \right\} \quad \text{f}(\text{x}) = \dots$$
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه ۲۴ ریاضی و آمار یازدهم انسانی
این تمرین جامع به شما کمک می‌کند تا رابطه بین **دامنه**، **برد**، **ضابطه** و **نمودار** یک تابع را به خوبی درک کنید.
### قسمت اول: یافتن برد از دامنه و ضابطه
* **ضابطه:** $\text{f}(\text{x}) = \text{x}^2 - 1$
* **دامنه:** $\text{D}_{\text{f}} = \left\{ 2, -1, -2 \right\}$
برای پیدا کردن **برد** ($\\text{R}_{\text{f}}$)، باید هر مقدار دامنه را در ضابطه جایگذاری کنیم:
1. $\text{f}(2) = (2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$
2. $\text{f}(-1) = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$
3. $\text{f}(-2) = (-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$
* **برد:** $\text{R}_{\text{f}} = \left\{ 3, 0, 3 \right\}$. (در مجموعه‌ها عضو تکراری را یک بار می‌نویسیم.)
$$\text{R}_{\text{f}} = \left\{ \mathbf{0}, \mathbf{3} \right\}$$
---
### قسمت دوم: یافتن دامنه از برد و ضابطه
* **ضابطه:** $\text{f}(\text{x}) = \frac{1}{\text{x}}$
* **برد:** $\text{R}_{\text{f}} = \left\{ 1, \frac{1}{2}, 5 \right\}$
برای پیدا کردن **دامنه** ($\\text{D}_{\text{f}}$)، باید $\text{f}(\text{x})$ را برابر هر عضو برد قرار داده و $\text{x}$ را محاسبه کنیم:
1. $\frac{1}{\text{x}} = 1 \quad \Rightarrow \quad \text{x} = 1$
2. $\frac{1}{\text{x}} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \text{x} = 2$
3. $\frac{1}{\text{x}} = 5 \quad \Rightarrow \quad \text{x} = \frac{1}{5}$
* **دامنه:** $\text{D}_{\text{f}} = \left\{ 1, 2, \frac{1}{5} \right\}$
$$\text{D}_{\text{f}} = \left\{ \mathbf{1}, \mathbf{2}, \mathbf{\frac{1}{5}} \right\}$$
---
### قسمت سوم: یافتن دامنه و برد از نمودار
* **ضابطه:** $\text{f}(\text{x}) = (\text{x} - 1)^2$
* **نمودار:** نقاط رسم شده در دستگاه مختصات را استخراج می‌کنیم:
* نقطه ۱: $(0, 1) \to \text{x}=0, \text{y}=1$
* نقطه ۲: $(2, 1) \to \text{x}=2, \text{y}=1$
* نقطه ۳: $(1, 0) \to \text{x}=1, \text{y}=0$
* **دامنه ($\\text{D}_{\text{f}}$):** مؤلفه‌های اول نقاط (مقادیر $\text{x}$):
$$\text{D}_{\text{f}} = \left\{ 0, 2, 1 \right\}$$
* **برد ($\\text{R}_{\text{f}}$):** مؤلفه‌های دوم نقاط (مقادیر $\text{y}$):
$$\text{R}_{\text{f}} = \left\{ 1, 1, 0 \right\} \quad \Rightarrow \quad \left\{ 0, 1 \right\}$$
$$\text{D}_{\text{f}} = \left\{ \mathbf{0}, \mathbf{1}, \mathbf{2} \right\} \quad \text{R}_{\text{f}} = \left\{ \mathbf{0}, \mathbf{1} \right\}$$
---
### قسمت چهارم: یافتن ضابطه تابع خطی
* **تابع خطی:** ضابطه کلی $\text{f}(\text{x}) = \text{ax} + \text{b}$
* **دامنه و برد:** زوج مرتب‌های تابع را تشکیل می‌دهیم:
$$ \left( -\frac{1}{2}, -\frac{3}{2} \right), \quad (0, 0), \quad (2, 6) $$
(فرض می‌کنیم اعضای $\text{D}_{\text{f}}$ به ترتیب اعضای $\text{R}_{\text{f}}$ نگاشته شده‌اند. در واقع تابع باید یک به یک باشد که در اینجا هست.)
چون تابع از نقطه $(\mathbf{0}, \mathbf{0})$ می‌گذرد، یعنی $\text{f}(0) = 0$ است. در ضابطه کلی:
$$\text{f}(0) = \text{a}(0) + \text{b} = 0 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{\text{b} = 0}$$
ضابطه به صورت $\text{f}(\text{x}) = \text{ax}$ ساده می‌شود. برای یافتن $\text{a}$، از نقطه $(2, 6)$ استفاده می‌کنیم:
$$\text{f}(2) = 6 \quad \Rightarrow \quad \text{a}(2) = 6 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{\text{a} = 3}$$
* **ضابطه تابع خطی:** $\text{f}(\text{x}) = 3\text{x}$
* **کنترل با نقطه سوم:** $\text{f}\left(-\frac{1}{2}\right) = 3 \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{2}$. (درست است.)
$$\text{f}(\text{x}) = \mathbf{3\text{x}}$$
