حل تمرین صفحه 24 ریاضی یازدهم انسانی

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه ۲۴ ریاضی و آمار یازدهم انسانی بسیار عالی! برای تشخیص اینکه یک رابطه تابع است یا خیر، در نمایش پیکانی باید این قانون طلایی را به یاد داشته باشید: **هر عضو از مجموعهٔ اول (دامنه) باید دقیقاً یک پیکان خارج شده داشته باشد.** ### الف) بررسی رابطه الف * عضو **۱** از مجموعه اول (دامنه)، **یک** پیکان به $\text{a}$ دارد. * عضو **۲** از مجموعه اول (دامنه)، **یک** پیکان به $\text{a}$ دارد. **نتیجه:** هر عضو دامنه فقط یک پیکان دارد (هرچند که هر دو به یک عضو در برد رسیده‌اند). پس **رابطه الف، تابع است.** ### ب) بررسی رابطه ب * عضو **۱** از مجموعه اول (دامنه)، **دو** پیکان دارد: یکی به $\text{a}$ و یکی به $\text{b}$. * عضو **۲** از مجموعه اول (دامنه)، **یک** پیکان به $\text{b}$ دارد. **نتیجه:** چون از عضو **۱**، **دو پیکان** خارج شده است، این رابطه تعریف تابع را نقض می‌کند. پس **رابطه ب، تابع نیست.** **چرا تابع نیست؟** * **دلیل:** چون عضو $\mathbf{1}$ از مجموعهٔ دامنه (مجموعهٔ اول) به دو عضو مختلف از مجموعهٔ دوم ($\\text{a}$ و $\\text{b}$) مرتبط شده است. این به این معنی است که $\text{f}(1)$ دو مقدار مختلف $\text{a}$ و $\text{b}$ دارد، در حالی که در تابع، هر ورودی باید **خروجی یکتا** داشته باشد.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه ۲۴ ریاضی و آمار یازدهم انسانی این تمرین جامع به شما کمک می‌کند تا رابطه بین **دامنه**، **برد**، **ضابطه** و **نمودار** یک تابع را به خوبی درک کنید. ### قسمت اول: یافتن برد از دامنه و ضابطه * **ضابطه:** $\text{f}(\text{x}) = \text{x}^2 - 1$ * **دامنه:** $\text{D}_{\text{f}} = \left\{ 2, -1, -2 \right\}$ برای پیدا کردن **برد** ($\\text{R}_{\text{f}}$)، باید هر مقدار دامنه را در ضابطه جایگذاری کنیم: 1. $\text{f}(2) = (2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$ 2. $\text{f}(-1) = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$ 3. $\text{f}(-2) = (-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$ * **برد:** $\text{R}_{\text{f}} = \left\{ 3, 0, 3 \right\}$. (در مجموعه‌ها عضو تکراری را یک بار می‌نویسیم.) $$\text{R}_{\text{f}} = \left\{ \mathbf{0}, \mathbf{3} \right\}$$ --- ### قسمت دوم: یافتن دامنه از برد و ضابطه * **ضابطه:** $\text{f}(\text{x}) = \frac{1}{\text{x}}$ * **برد:** $\text{R}_{\text{f}} = \left\{ 1, \frac{1}{2}, 5 \right\}$ برای پیدا کردن **دامنه** ($\\text{D}_{\text{f}}$)، باید $\text{f}(\text{x})$ را برابر هر عضو برد قرار داده و $\text{x}$ را محاسبه کنیم: 1. $\frac{1}{\text{x}} = 1 \quad \Rightarrow \quad \text{x} = 1$ 2. $\frac{1}{\text{x}} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \text{x} = 2$ 3. $\frac{1}{\text{x}} = 5 \quad \Rightarrow \quad \text{x} = \frac{1}{5}$ * **دامنه:** $\text{D}_{\text{f}} = \left\{ 1, 2, \frac{1}{5} \right\}$ $$\text{D}_{\text{f}} = \left\{ \mathbf{1}, \mathbf{2}, \mathbf{\frac{1}{5}} \right\}$$ --- ### قسمت سوم: یافتن دامنه و برد از نمودار * **ضابطه:** $\text{f}(\text{x}) = (\text{x} - 1)^2$ * **نمودار:** نقاط رسم شده در دستگاه مختصات را استخراج می‌کنیم: * نقطه ۱: $(0, 1) \to \text{x}=0, \text{y}=1$ * نقطه ۲: $(2, 1) \to \text{x}=2, \text{y}=1$ * نقطه ۳: $(1, 0) \to \text{x}=1, \text{y}=0$ * **دامنه ($\\text{D}_{\text{f}}$):** مؤلفه‌های اول نقاط (مقادیر $\text{x}$): $$\text{D}_{\text{f}} = \left\{ 0, 2, 1 \right\}$$ * **برد ($\\text{R}_{\text{f}}$):** مؤلفه‌های دوم نقاط (مقادیر $\text{y}$): $$\text{R}_{\text{f}} = \left\{ 1, 1, 0 \right\} \quad \Rightarrow \quad \left\{ 0, 1 \right\}$$ $$\text{D}_{\text{f}} = \left\{ \mathbf{0}, \mathbf{1}, \mathbf{2} \right\} \quad \text{R}_{\text{f}} = \left\{ \mathbf{0}, \mathbf{1} \right\}$$ --- ### قسمت چهارم: یافتن ضابطه تابع خطی * **تابع خطی:** ضابطه کلی $\text{f}(\text{x}) = \text{ax} + \text{b}$ * **دامنه و برد:** زوج مرتب‌های تابع را تشکیل می‌دهیم: $$ \left( -\frac{1}{2}, -\frac{3}{2} \right), \quad (0, 0), \quad (2, 6) $$ (فرض می‌کنیم اعضای $\text{D}_{\text{f}}$ به ترتیب اعضای $\text{R}_{\text{f}}$ نگاشته شده‌اند. در واقع تابع باید یک به یک باشد که در اینجا هست.) چون تابع از نقطه $(\mathbf{0}, \mathbf{0})$ می‌گذرد، یعنی $\text{f}(0) = 0$ است. در ضابطه کلی: $$\text{f}(0) = \text{a}(0) + \text{b} = 0 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{\text{b} = 0}$$ ضابطه به صورت $\text{f}(\text{x}) = \text{ax}$ ساده می‌شود. برای یافتن $\text{a}$، از نقطه $(2, 6)$ استفاده می‌کنیم: $$\text{f}(2) = 6 \quad \Rightarrow \quad \text{a}(2) = 6 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{\text{a} = 3}$$ * **ضابطه تابع خطی:** $\text{f}(\text{x}) = 3\text{x}$ * **کنترل با نقطه سوم:** $\text{f}\left(-\frac{1}{2}\right) = 3 \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{2}$. (درست است.) $$\text{f}(\text{x}) = \mathbf{3\text{x}}$$